1
Wiskunde D voor HAVO
periodieke functies
Gert Treurniet
2
2.1 Inleiding Een noot is een oscillatie. De trilling van de lucht beweegt ons trommelvlies. We nemen de beweging van ons trommelvlies waar als geluid. Sommige oscillaties kunnen we beschrijven met de sinus-, cosinus- en tangensfuncties. Met deze trigonometrische functies kunnen ook verklaringen worden gegeven voor fysische of andere fenomenen die periodiek (herhalend) zijn. Muziekinstrumenten worden afgestemd door te luisteren naar de gelijktijdige beats van beide instrumenten. 2-tone beat betekent dat het samengestelde geluid afwisselend in volume toe- en afneemt. Dit kan beter worden begrepen door trigonometrische functies toe te voegen. In deze module leer je:
º Voeg trigonometrische functies toe, verklaar hun resultaten en voorspel resultaten
º Werken met goniometrische formules, inclusief de "goniometrische stelling van Pythagoras"
º Differentiatie van trigonometrische functies º Toepassing van trigonometrische functies in praktijksituaties
De studielast voor deze module is 20 uur.
3
2.2 Sinus, cosinus en tangens De gebruikte hoekmaat bij het werken met trigonometrische functies is vaak radialen. Een van de redenen voor dit gebruik is dat het differentiatie vergemakkelijkt. De radiaal wordt gedefinieerd zoals weergegeven in de figuur: de hoek α is gelijk aan 1 radiaal (afgekort tot rad) als de lengte van de overeenkomstige boog langs de eenheidscirkel gelijk is aan 1.
Figuur 1: De hoek α is gelijk aan 1 radiaal, aangezien de corresponderende boog van de eenheidscirkel lengte 1 heeft.
2.1 Waarom is 1 radiaal iets kleiner dan 60o? De halve omtrek van de eenheidscirkel, π, komt overeen met een hoek van 180°.
Omdat er staat (π radiaal ≅ 180 dus 1 rad = π
0180 om
18010 π= rad ) de vaste verhouding
Als er een verschil is tussen de hoek in radialen en de hoek in graden, kunt u een verhoudingstabel gebruiken om de conversie uit te voeren.
2.2 Vul de volgende tabel in.
Rotatiehoek (graden)
0 30 45 90 120 150 180
Drehwinkel (radiaal)
0 S.61 S.3
1 S. 43 S
4
Let op de volgende sinuswaarden:
hoek (radialen)
Sinus-Mnemonik
0 0 021
blz. 61 2
1 121
pag. 41 22
1 221
pag. 31 32
1 321
blz. 21 1 42
1
2.3 Teken de functie handmatig
xxf zonde)( =
op het interval [0, π2 ]. Selecteer op de x-as de stapgrootte π6
1 en gebruiken
waarden hierboven.
2.4 a Maak een plot (met je rekenmachine) en teken (op papier) de grafiek van ttf 2cos)( = op het interval [ ππ 3,− ].
b Los exact op: 5.02cos =t op het interval [ ππ 3,− ].
c Wat is het verschil tussen de periode van xxf sin)( = en ttf 2cos)( = ? De grafieken van xxf sin)( = en xxg cos)( = hebben amplitude 1, periode π2 en
Evenwichtslijn 0=y . Deze grafieken kunnen ook worden verschoven en vermenigvuldigd met een factor.
Wijzigen/vermenigvuldigen van xxf sin)( = formule
Schuif naar rechts over de afstand c )sin()( cxxf −=
en verschuif het met de afstand d dcxxf +−= )sin()(
en vermenigvuldigen beschouwen we ook een t.o.v. van x-als dcxaxf +−= )sin()(
en vermenigvuldiging met de factor b1 ten opzichte van de y-as dcxbaxf +−= )(sin)(
De grafiek van dcxbaxf +−= )(sin)( wordt een sinusoïdaal (=sinusvormig) genoemd.
De periode T is b
s2.
De frequentie f is T
1.
b wordt ook wel de hoeksnelheid van een sinuskromme genoemd en is gelijk aan fπ2
5
2.5 Geef aan hoe de grafieken van de volgende functies zijn afgeleid van de grafieken van xxf sin)( =. Geef de gebruikte factoren en afstanden aan. Bereken ook de periode en frequentie van elke functie. a )sin( )( 4
1 π−= xxf
b )(zonde)( 81
31 π−= xxf
c xxf 3sin5,3)( =
d)4sin(3,0)(31 += xxf
en 7)6(2sin6,0)( −+= xxf π
2.6 Hier dient een oefening te worden ingevoegd, waarin het herkennen van werkinstructies en afbeeldingen wordt geoefend.
2.7 Beschouw de functies xxf sin)( = en xxg cos)( = op het interval [ ππ 2,2− ]. a Op welk punt is de sinusfunctie symmetrisch op dit interval? b Op welke lijn ligt de cosinusfunctie op deze symmetrisch interval c Wat is de periode van f en g Gebruik de symmetrie en/of periodiciteit van f en g om de volgende vragen te beantwoorden.
2.8 Bereken exact: a π6
11 zonde
b )1cos( 41 π−
Dit moet worden aangevuld met andere taken.
2.9 Gegeven de functies xxf sin)( = en xxg cos)( = op het interval [ ππ 2,2− ]. Bereken alle oplossingen van de volgende vergelijkingen tot op 2 decimalen nauwkeurig: a 6,0)( =xf
b 3.0)( −=xg Formules voor symmetrie moeten hier gegeven worden. Raaklijn moet hier nog geïntroduceerd worden, dit moet in balans gebracht worden met het differentiërende deel. Misschien later verwerken?
6
2.3 Sommatie van sinusgolven met dezelfde periode Wanneer twee tonen tegelijkertijd klinken, bereikt het oor een som van de trillingen. In deze sectie onderzoeken we de eigenschappen van de som van twee sinusgolven met dezelfde periode.
2.10 Sinusgolven toevoegen aan GR Controleer de volgende functies voor sinusgolven:
xxf sin)( = en xxg cos)( = Wat is de periode van f en g? Noteer beide functies op GR. Noteer ook de som van beide functies op GR (dit kan met de somfunctie van GR, y1 + y2 Vergelijkbaar met de grafiek van de som ook een sinus Hoewel bovenstaande geen bewijs is echter: theorie, stelling De som (van de grafieken) van 2 sinusgolven met dezelfde periode T is weer een sinus met dezelfde periode T. Methode Als de som van de twee sinuscurven weer een sinuscurve is, moet deze dus ook in de vorm
dcxbaxs +−= )(sin)( kan worden geschreven. Hoe doe je dat? We gebruiken GR. (Je kunt ook formules gebruiken, maar dat is geen onderdeel van het onderwerp.) b is de hoeksnelheid. Deze is gelijk aan de hoeksnelheid van de beide oorspronkelijke functies dus b = 1. a is de amplitude die kan worden gevonden door de waarden van het maximum en minimum van de somgrafiek te vinden, van elkaar af te trekken en vervolgens te delen door 2 (waarom ?) d is de evenwichtslijn Dit is gelijk aan de som van de y-waarden van de evenwichtslijnen van de oorspronkelijke functies, in dit geval 0. Zet deze evenwichtslijn op GR c is de verplaatsing naar Dit kan zijn gevonden door de afstand van de y-as tot het eerste positieve 0-snijpunt bepaald langs de evenwichtslijn te meten.
12sin)( += xxf π og 2)25.0(2sin)( −−= xxg π
7
Wat is de formule voor )())()( xgxfxs += ? Antwoord:
π2== fs bb
12
22 ===ff
sbT
Voer de som van de twee functies in op de GR.
Bepaal de maximale en minimale waarden met G-Solve:
≈min 0,414 bij ≈Max. -2.414
De amplitude a is dus 414,12
(-2,414) - 0,414 =
1)2(1 −=−+=+= gfs ddd
c kan worden berekend door de x-coördinaat van het snijpunt van s en zijn evenwichtslijn te bepalen, waarbij s de evenwichtslijn in opwaartse richting moet snijden. Kijk naar beneden. Dus in dit geval: 125,0=c
We hebben dus: 1))125.0(2sin(414.1)( −−= xxs π
2.11 Taak om bovenstaande te oefenen. Hier volgen enkele aanvullingen.
8
2.4 Toevoeging van sinusgolven met een oneven periode Wanneer twee tonen met een oneven frequentie klinken, wanneer de som van deze twee tonen het oor bereikt. In deze sectie onderzoeken we de eigenschappen van de som van twee sinusoïden met een oneven frequentie.
2.12 Beschouw de volgende functies van sinusoïden:
ttf πsin)( = en ttg π32sin)( =
a Wat is de periode van )(tf ?
b Wat is de periode van )(tg?
g Hoe zou de relatie tussen de perioden )(tf en )(tg en Pe-
Opstand van )(ts ?
2.13 Voer ook de commando's uit de vorige oefening uit voor de volgende functies.
ttk π21sin)( = en ttl π3
1s)( =
Komt de periode van de somfunctie overeen met het verband dat je in de vorige vraag hebt gevonden? Zo nee, waarom niet? Hoe zit het dan met de relatie? Hoewel het bovenstaande geen bewijs is, geldt de volgende theorie met betrekking tot de optelling van twee sinusoïden met een oneven periode: De optelling (van de grafieken) van twee sinusoïden met een oneven periode 1T en 2T is geen sinusoïde. U kunt dit bedrag dus niet invullen in het formulier
dcxbaxf +−= )(zonde)( .
De som van twee sinusgolven met oneven perioden 1T en 2T kan periodiek zijn. Het belangrijkste om op te merken over deze theorie is dat functies die niet sinusvormig zijn meestal geen evenwichtslijn en geen amplitude hebben. De methode voor het bepalen van de periode van de som van twee oneven periodieke sinusoïden is als volgt: Gegeven:
π61 =T en π82 =T
Schrijf enkele veelvouden van π6: π6 , π12 , π18 , π24 , π30 , π36
Schrijf ook enkele veelvouden van π8 op: π16 , π24 , π32 , π40
9
De eerste periode die op beide regels wordt weergegeven, is de periode van de somfunctie. Hier
dat is het geval π24 Hier komt veel oefenmateriaal bij.
2.4.1 In detail 2.14 Hoe "de gemeenschappelijke periode voor de som van 2 pe-
periodieke functies bepalen? 2.15 Wanneer is er geen gemeenschappelijke periode? geef een voorbeeld
10
2.5 Sinus, cosinus en de stelling van Pythagoras Er zijn veel verbanden tussen de sinusfunctie en de cosinusfunctie. Hier leren we er een te gebruiken. In onderstaande figuur is de eenheidscirkel getekend. Op de eenheidscirkel ligt een punt P. De straal naar P wordt getrokken vanuit het middelpunt O van de eenheidscirkel. Punt A is ook getekend met de x-coördinaat gelijk aan P. Hoek A is dus een rechte hoek.
Figuur: Sinus en cosinus in de eenheidscirkel. (Dit cijfer moet worden verbeterd).
2.16 Kijk nu naar OAPΔ. a Welke bekende stelling kun je toepassen op deze driehoek? b Gebruik de verklaring. Welke verhouding van αsin tot αcos krijg je nu? c Geldt deze relatie ook als P in een ander kwadrant ligt? Stelling Een gevolg van de definitie van sinus en cosinus is dat er de volgende relatie tussen bestaat:
1)(cos)(sin 22 =+ aa Opmerking:
Vaak wordt 2)(sinα geschreven als en α2sin. Dit is niet hetzelfde als α2sin.
2.17 Herschrijf de volgende functies zodat xcos niet voorkomt:
a 5cossin3)( 22 −+= xxxf
b 5cos3sin4)( 22 −−= xxxg
c xxxh 22 sincos)( −=
d xxi cos)( =
2.18 Verwijder haakjes en/of vereenvoudig:
a 2)cos(sin)( aaa +=s
11
b 2)(cos
sinsincoscos)(zo'
aaaaaa +=
2.19 Hier is nog een voorbeeld.
Los de volgende vergelijkingen exact op in het interval [ ππ 3,− ]:
a 25,1cos2sin 22 =+ xx
b 3sincoscos2123 =+ xxx
12
2.6 Differentiatie van trigonometrische functies Deze paragraaf moet nog worden aangepast aan de paragraaf over differentiatie. Snelheid is vaak belangrijk bij het verhuizen. Snelheid wordt afgeleid van positie. Bij sinusoïdale bewegingen is de afleiding van de sinus dus belangrijk. In deze module gaan we werken met de afgeleide goniometrische functies.
2.20 Functies xxf sin)( = .
a Zet deze functie uit op het interval [ ππ 3,− ]. b Plot ook de afgeleide functie. c Wat is de functieregel voor deze afgeleide functie? De functie xxg cos)( =
d Zet deze functie uit op het interval [ ππ 3,− ]. e Plot ook de afgeleide functie. f Wat is de functieregel voor deze afgeleide functie? g Hoe vaak moet je )(xf differentiëren om weer )(xf te krijgen? Beschouw hier een "bewijs" van deze regels. De afgeleide van xxf sin)( = is xxf cos)(' =
De afgeleide van xxg cos)( = is xxg sin)(' −=
2.21 Bepaal de afgeleiden van de volgende functies (denk aan de kettingregel): a ttf sin2)( =
b ttg 3sin)( =
c tde π3cos2)( =
d )2(3cos2)( += tti π
e 7)2(3sin2)( ++= ttj π
2.22 Differentieer en vereenvoudig waar mogelijk: a tttl 3cos2sin5)( ⋅=
b t
tt
cos
jammer) dus( =
c)23sin(5)(2++= tttk
dx
xxm
jammer)( =
e dctbats +−= ))(sin()(
2.23 Bepaal de extrema van de volgende functie. Bepaal ook de waarde van het uiterste. Doe dit met behulp van differentiatie:
xxf sin)( = på intervallet [ π2,0 ]
13
2.7 Integratie met andere thema's
14
2.8 Samenvatting en overzicht De halve omtrek van een cirkel, π, komt overeen met een hoek van 180°. Omdat de hoek in radialen de vaste verhouding van de hoek in graden is, kunt u een verhoudingstabel gebruiken om de conversie uit te voeren.
hoek (radialen)
bihule
0 0 P.6
1 21
pag. 41 22
1
pag. 31 32
1
P. 21 1
Wijzigen/vermenigvuldigen van xxf sin)( = formule
Schuif naar rechts over de afstand c )sin()( cxxf −=
en verschuif het met de afstand d dcxxf +−= )sin()(
en vermenigvuldigen beschouwen we ook een t.o.v. van x-als dcxaxf +−= )sin()(
en vermenigvuldiging met de factor b1 ten opzichte van de y-as dcxbaxf +−= )(sin)(
De grafiek van dcxbaxf +−= )(sin)( wordt een sinusoïdaal (=sinusvormig) genoemd.
De periode T is b
s2.
De frequentie f is T
1.
b wordt ook wel de hoeksnelheid van een sinuskromme genoemd en is gelijk aan fπ2. Enkele formules voor het omzetten van sinus naar cosinus en vice versa zijn:
)zonde()zonde( xx −−=
)cos()cos( xx =−
)cos(sin(x) 21 x−= π
)(sincos(x) 21 x−= π
1cossin 22 =+ xx De som (van de grafieken) van 2 sinusgolven met dezelfde periode T is weer een sinusgolf met dezelfde periode T.
15
De optelling (van de diagrammen) van 2 sinusgolven van oneven perioden 1T en 2T is geen sinusgolf. U kunt dit bedrag dus niet invullen in het formulier
dcxbaxf +−= )(zonde)( .
De som van twee sinusgolven met oneven perioden 1T en 2T kan periodiek zijn. Als deze periode bestaat, kunt u deze vinden door de minst voorkomende periode te vinden die een veelvoud is van beide perioden. De afgeleide van xxf sin)( = is xxf cos)(' =
De afgeleide van xxg cos)( = is xxg sin)(' −= Natuurlijk kunnen de bekende differentiatieregels ook op deze goniometrische functies worden toegepast.
16
2.9 Praktijk: Applicaties Het is de bedoeling om hier meer applicaties toe te voegen. Wat kun je doen met goniometrische formules en periodieke functies?
2.24 Inleidende oefening met klanktoevoeging De volgende 2 functies komen aan bod:
)10sin()( ttg π= en )12sin()( tth π= met t in seconden. a Wat zijn de frequenties van )(tg en )(th ? b Geef ook de eenheid van deze frequentie. c Wat is de Periode van g? d Noteer beide plots over een interval van ongeveer 3 perioden e Noteer de cumulatieve plot over een interval van 4 seconden f Leg uit wat je zou horen als je de volgende signalen tegelijkertijd zou horen
maken:
)10002sin()( tti π= en )10052sin()( ttj π= met t in seconden. Enkele opmerkingen: a Misschien is dit te gedetailleerd? b Variant met VU-grafiek: Een hogere frequentie van g en h geeft meer inzicht
Figuur c Variant met TI-Interactive: zoals met VU-Graph. d Geluidsprogramma en/of geluidsbestand op wisweb
2.25 Hier volgt een uitleg van kranen met functiecombinaties
2.26 Zeepbellen Wanneer meerdere zeepbellen botsen, worden de interfaces daartussen vaak plat. Hier is een foto van 3 bubbels waar dit gebeurde. De hoek tussen de vlakken is vaak, maar niet altijd, 120°.
We onderzoeken of dit ook daar het geval is voor een vereenvoudigd geval.
17
Beschouw de volgende situatie waarin een rechthoek van 10x15 cm is getekend. Stel dat er tussen de uiteinden van de korte zijde en het midden van de tegenoverliggende korte zijde drie draden zijn vastgebonden door een knoop. We gaan na bij welke hoek α de totale lengte van de snaren minimaal is.
a Wat is de lengte van het touw in termen van a en b? b Wat is b uitgedrukt in α? c Wat is a uitgedrukt in c? d Wat is c uitgedrukt in α? e Wat is dus de lengte van het touw uitgedrukt in α? f Bij welke α is de lengte minimaal? g Wat zijn de hoeken tussen de snaren?
2.27 plantenbak (ziet er eigenlijk uit als zeepbellen, dus misschien weglaten). Oefening uit het werken met, pagina 30 Deze oefening is gedeeltelijk overgenomen uit een examen uit 1990. Voor het kweken van planten gebruikt een teler een celstructuur zoals weergegeven in onderstaande figuur.
Elke afzonderlijke cel heeft zes zijden van 3 cm. Door de hele structuur uit te rekken in de richting die wordt aangegeven in de afbeelding, verandert de vorm van alle cellen. EF en CB blijven parallel. Deze verandering kan worden beschreven door de variabele hoek DAB.
18
Laten we zeggen dat de grootte van deze hoek x radialen is. a Bereken x in radialen (tot op twee decimalen nauwkeurig) als BF = 4. b In onderstaande figuur is zo'n celstructuur vlak gerangschikt.
spanningen
De binnenbreedte van de plantenbak is 22 cm. Bereken de binnenlengte van
Planter. c De celstructuur uit figuur 26 wordt horizontaal uit de plantenbak gehaald
Talk verlengd tot π21=x (voor x zie figuur 25b). Zo ja, onderteken het
Bovenaanzicht van de celstructuur. Voor elke hoek x wordt de verhouding gegeven tussen de oppervlakte van de cel S en de hoekmaat x
xxxS cossin18sin18 += d Bewijs de juistheid van deze formule.
d Druk op dx
dSuit i xcos.
f Bereken voor welke waarde van x de oppervlakte van de cel maximaal is, en teken de cel met de maximale oppervlakte.
2.28 Hier is nog een vraag over de krukas en de cilinder (zie Werken met, p. 31)
2.29 Hier is nog een probleem voor het construeren van periodieke functies uit sinus (Fourier) krommen
vooral met TII
19
2.10 Oefening: Applicaties met TI Interactive 2.30 Deze oefening moet nog TII-compatibel worden gemaakt. Zie uitleg hierboven
dit document. Gezien de volgende kenmerken:
)52sin()( ttg π= en )62sin()( tth π= met t in seconden.
a Wat zijn de frequenties van )(tg en )(th ? b Geef ook de eenheid.
c Wat is de periode van g? En dat van waar? d Noteer beide grafieken en de cumulatieve grafiek over een periode van 4 seconden.
Maak de grafieken afwisselend zichtbaar, let vooral op de cumulatieve grafiek. Leg uit wat je zou horen (luidheid en frequenties) als je de volgende signalen tegelijkertijd zou spelen:
)10002sin()( tti π= en )10052sin()( ttj π= met t in seconden. Opmerking: bij het plotten van deze grafieken in TI Interactive is het moeilijk om beide functies en hun som te zien. Welke eigenschap van TI-Interactive en Veroorzaakt de computer dit?
FAQs
Hoe weet je of je sinus, cosinus of tangens moet gebruiken? ›
Als je erachter wilt komen welke formule (sinus, cosinus of tangens) je moet gebruiken om een hoek uit te rekenen, bekijk dan welke zijden gegeven zijn (aanliggende, overstaande of schuine zijde) en kijk dan in welke formule de twee gegeven zijden voorkomen.
Hoe werkt sinus en cosinus? ›De verhouding overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde heet tangens van de hoek, De verhouding overstaande rechthoekszijde schuine zijde heet sinus van de hoek, De verhouding aanliggende rechthoekszijde schuine zijde heet cosinus van de hoek.
Hoe bereken je de cosinus? ›Cosinus = aanliggende zijde / schuine zijde. Als de aanliggende zijde 6,7 centimeter is en de schuine zijde 10 centimeter is, dan is de uitkomst 0,67. Dit moet je nog omrekenen naar graden. Dit doe je met de COS-1 knop op de rekenmachine.
Wat is het verschil tussen sinus en cosinus? ›De sinus is daarin de verhouding van de tegenover de hoek liggende zijde en de schuine zijde, en de cosinus is de sinus van de complementaire hoek en dankt daaraan zijn naam. De cosinus is dus de verhouding van de aanliggende zijde en de schuine zijde.
Wat is de sinus van 30 graden? ›Dit betekent dat sin(30°) = 1/2. In dit geval staan de hoeken in graden, maar je gebruikt ook vaak radialen. In dat geval zijn de hoeken uitgedrukt in π.
Hoe doe je Soscastoa? ›SOS houdt in: Sinus is Overstaande zijde gedeeld door de Schuine zijde. CAS houdt in: Cosinus is Aanliggende zijde gedeeld door de Schuine zijde. TOA houdt in: Tangens is Overstaande zijn gedeeld door de Aanliggende zijde.
Wat is de inverse van sinus? ›De inverse bewerking van sinus = arc(us) sin (ookwel boogsin, sin-1, inv sin, ...). De inverse bewerking van cosinus = arc(us) cos (ookwel boogcosinus, cos-1, inv cos, ...). Die inverse bewerking kun je berekenen m.b.v. je rekenmachine, er zal op je rekenmachine iets staan zoals inv sin, sin-1, ...
Kan een sinus negatief zijn? ›Je ziet dat voor sommige hoeken de sinus een negatief getal kan zijn! Het punt kan ook rechtsom (met de klok mee) draaien, je krijgt dan negatieve hoeken. De sinus van zo'n negatieve hoek kan weer positief of negatief zijn.
Kan een sinus groter zijn dan 1? ›Zowel de sinus als de cosinus van een willekeurig getal kunnen nooit kleiner zijn dan -1 of groter zijn dan +1 ! Als er dus staat sina=1,6 of cosa=-3 dan moet er een alarmbel gaan loeien.
Wat is de tangens van 90 graden? ›De tangens was gedefinieerd als de verhouding van de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde in een rechthoekige driehoek. Deze oorspronkelijke definitie beperkte echter het domein van het argument van 0° tot 90° (behalve 90° zelf, waarvoor de tangens niet gedefinieerd is).
Hoe werkt de sinus regel? ›
De sinusregel is een stelling uit de goniometrie die stelt dat in een driehoek de verhouding tussen de lengte van een zijde en de sinus van de overstaande hoek voor elk van de hoeken gelijk is aan het dubbele van de straal r van de omgeschreven cirkel.
Wat is de afgeleide van een sinus? ›de afgeleide van de sinus is de cosinus en de afgeleide van de cosinus is min de sinus.
Hoe bereken je het aantal graden van een hoek? ›Stap 1: Je legt je geodriehoek op de hoek die je wilt meten. Stap 2: De 0 van de geodriehoek leg je op het hoekpunt en de lange kant van de geodriehoek leg je langs een been van de hoek. Stap 3: Lees het aantal graden langs de rand van de geodriehoek af op het punt waar het andere been loopt.
Hoeveel graden is 1 Pi? ›Een heel rondje (360°) is hierbij gedefinieerd als 2π rad. Hoeveel graden is een radiaal? Omrekenen van radialen naar graden kan met onderstaande formule. Als je 1 rad hiermee omrekent kom je op 57,29577°.
Wat is sinus 90? ›Kijk je echter naar de eenheidscirkel en beschouw je de sinus als de lengte van de 'afstand van het punt tot de horizontale middellijn van de cirkel' (zie onder), dan wordt de sinus van 90° ineens heel vanzelfsprekend gelijk aan 1.
Wat is een hoek van 60 graden? ›Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan alle drie de zijden precies even lang zijn. Als de zijden van een driehoek exact even lang zijn, weet je automatisch ook dat de hoeken even lang zijn, namelijk 60 graden.
Hoe weet je wat de aanliggende zijde is? ›Als je vanuit hoek A naar zijde BC kijkt, dan kijk je naar de zijde die tegenover de hoek ligt. Deze zijde noem je de overstaande zijde van hoek A. De zijde tegenover de rechte hoek, dat is in dit geval zijde AC, noemen we de schuine zijde. De overgebleven zijde, dat is AB, is de aanliggende zijde.
Wat is de tangens van een hoek? ›De tangens van een hoek is het getal dat de verhouding aangeeft tussen de rechthoekszijde tegenover die hoek en de aanliggende rechthoekszijde. De cotangens van een hoek is het omgekeerde van de tangens.
Hoe differentieer je sinus? ›- De afgeleide van f ( x ) = sin ( x ) is f ′ ( x ) = cos ( x ) .
- De afgeleide van f ( x ) = cos ( x ) is f ′ ( x ) = - sin ( x ) .
Methode. 'Inverse' is een ander woord voor 'omgekeerd'. De inverse tangens gebruik je als je het hellingsgetal weet en de hellingshoek wilt berekenen. Als je dit hellingsgetal weet, dan kun je het aantal graden van de hellingshoek berekenen door de inverse tangens van het hellingsgetal te nemen.
Wat is de inverse eigenschap? ›
Het eenvoudige idee dat als je een getal met zijn omgekeerde vermenigvuldigt, je weer één krijgt. 5 × 1/5 = 1.
Wat is sinus hoofdpijn? ›Symptomen. Verstopte bijholtes, een loopneus en druk of pijn aan het gezicht of hoofdpijn kunnen op een verkoudheid wijzen. Als het snot echter geel of vlekkerig is, heeft u mogelijk een bijholteontsteking. Door chronische bijholteontstekingen kan uw levenskwaliteit afnemen en kunt u zich constant moe voelen.
Is Sinusontsteking besmettelijk? ›Is sinusitis besmettelijk? Nee, sinusitis zelf is niet besmettelijk,deze klachten kan je dus niet overdragen op iemand anders. De verkoudheid die meestal samengaat met een sinusitis, is natuurlijk wel besmettelijk.
Wat is een sinus neus? ›Sinussen of bijholtes zijn met lucht gevulde ruimtes in het bot van je schedel. Via kleine openingen zijn ze verbonden met je neus- en keelholte. Sinusitis is een ontsteking van het slijmvlies in de bijholtes.
Hoeveel graden is 1 6 Pi? ›| OPGAVEN | ||
|---|---|---|
| Reken de volgende hoeken van radialen om naar graden. Rond indien nodig af op gehele graden. | ||
| a. | 10 rad | 31/6π rad |
| b. | 1/12p rad | 6,9 rad |
| c. | -3 rad | 22 rad |
We hebben vier paar sinussen of neusbijholtes (kaaksinussen, voorhoofdsinussen, zeefbeensinussen en wigbeensinussen). Het zijn met lucht gevulde, in het bot gelegen holtes in het gelaat. Hun functie is nog niet duidelijk bekend.
Hoe vind je het beginpunt van een sinus grafiek? ›Je kan d vinden door te kijken wanneer de grafiek voor het eerst omhoog beweegt door de evenwichtsstand na de oorsprong. Het is belangrijk dat je kijkt naar een punt waar de grafiek omhoog beweegt en niet omlaag, anders zit je er namelijk precies een halve periode naast.
Hoe bereken je een hoek met Soscastoa? ›Sinus van een hoek = lengte overstaande zijde/lengte schuine zijde. Cosinus van een hoek = lengte aanliggende zijde/lengte schuine zijde.
Hoe bereken je de zijde van een achthoek? ›Antwoord. De regelmatig achthoek is te verdelen in een vierkant, vier gelijkbenige driehoeken en vier rechthoeken. Noem een been van de driehoek x, zodat de lengte van de hypotenusa is: √(x2+x2)=x√2 (Pythagoras). Nu geldt: R=x√2 x=1/2√2·R.
Hoe noem je een hoek die groter is dan 90 graden en kleiner dan 180 graden? ›- Een stompe hoek is een hoek groter dan 90º maar kleiner dan 180º. - Een gestrekte hoek is een hoek van 180º. - Een inspringende hoek is een hoek groter dan 180º maar kleiner dan 360º.
Wat is de sinus, cosinus en tangens? ›
De sinus, cosinus en tangens geven de verhouding van zijdes in een rechthoekige driehoek aan. Wanneer je van een rechthoekige driehoek de lengtes van de zijdes weet, kan je de hoek berekenen door middel van de inverse van de sinus, cosinus of tangens (sin–1, cos–1, tan–1).
Hoe heet de hoek van 90 graden? ›Een hoek van 90 graden noemen we een rechte hoek. 90 graden schrijven we als 90°. Een hoek die kleiner dan 90° is, wordt een scherpe hoek genoemd. Een hoek die groter dan 90° is, wordt een stompe hoek genoemd.
Hoe bereken je een lengte met de stelling van Pythagoras? ›Een rechthoekige driehoek heeft 3 zijdes: 2 rechthoekszijden en een schuine zijde. De schuine zijde wordt ook wel eens de langste zijde, of de hypotenusa genoemd. Bij de stelling van Pythagoras kan je de schuine zijde berekenen wanneer je de 2 rechthoekszijden weet. De stelling wordt vaak aangegeven als a2 + b2 = c2.
Wie bedacht de bekende wiskundige stelling a2 b2 c2? ›De stelling van Pythagoras: formule
In een rechthoekige driehoek, met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c, geldt: a²+b²=c².
Als je formule f(x) = g(x) + h(x) is, dan kun je de afgeleide vinden door f'(x) = g'(x) + h'(x) toe te passen. Je neemt dus de afgeleiden van de losse stukjes en telt deze bij elkaar op. Bijvoorbeeld: als f(x) = sin(x) + x 2 , dan wordt f '(x) = cos(x) + 2x. De kettingregel gebruik je bij lastigere formules.
Hoe noteer je de afgeleide? ›De helling in het punt met eerste coördinaat a noteren we met f ′ ( a ) . De functie f ′ noemen we de afgeleide functie. Een andere notatie voor de afgeleide functie is d f d x . f , g , t en n hieronder zijn functies en c een getal.
Is de afgeleide van 1 0? ›Waarom bepaal je de nulpunten van een afgeleide? De nulpunten van de afgeleide zijn belangrijke punten van de grafiek. Bij extreme waarden (maximum of minimum) is de eerste afgeleide gelijk aan nul. (Let op: het omgekeerde geldt niet - alleen omdat de eerste afgeleide nul is, hoeft een punt geen extreme waarde te zijn!
Hoe meet je de graden van een hoek zonder geodriehoek? ›Hoe kan je een hoek tekenen zonder geodriehoek? Je kan een hoek even groot tekenen zonder te meten door je passer te gebruiken. Je begint met een recht stuk te tekenen ongeveer in dezelfde richting. Je zet je passerpunt in het bestaande hoekpunt.
Hoe noem je een hoek van 140 graden? ›| Naam | Griekse naam | Hoek van regelmatige veelhoek |
|---|---|---|
| zevenhoek | heptagoon | ca. 128,6° |
| achthoek | octagoon | 135° |
| negenhoek | nonagoon enneagoon | 140° |
| tienhoek | decagoon | 144° |
Een gestrekte hoek is een hoek van 180°. Als een hoek helemaal rond gaat spreek je van een volle hoek. Een volle hoek is een hoek van 360°.
Waar gebruik je tangens voor? ›
De tangens is een term die je gebruikt om bijvoorbeeld een hoek of lijnsstuk te berekenen. Ook word de tan vaak gebruikt om het hellingspercentage te berekenen.
Waarom sinus berekenen? ›Je kunt deze gebruiken om de hoeken en zijden te berekenen van rechthoekige driehoeken. Een rechthoekige driehoek is een driehoek met één rechte hoek (= 90°). In deze theorie behandelen we alleen de sinus en leggen we uit hoe je hoeken kunt berekenen met behulp van de sinus.
Waar heb je goniometrie voor nodig? ›Goniometrie is het gedeelte van de wiskunde wat zich alleen maar bezig houdt met hoeken. Bij goniometrie meet men hoe groot deze hoeken zijn, met niets anders dan een rekenmachine! Bij goniometrie wordt veel gebruik gemaakt van driehoeken, aangezien deze nodig zijn bij het uitrekenen van een hoek.
Wat is inverse sinus? ›De inverse bewerking van de sinus, -cosinus en -tangens wordt aangeduid met de arcsinus, arccosinus en arctangens (ookwel boogsinus, boogcosinus en boogtangens genoemd) omdat de inverse van a bijvoorbeeld a-1 = 1/a en hiermee zou gedacht kunnen worden dat bijvoorbeeld inv sin(x) = 1/sin(x) hetgeen niet zo is!
Wat is de langste zijde van een driehoek? ›Een rechthoekige driehoek heeft 3 zijdes: 2 rechthoekszijden en een schuine zijde. De schuine zijde wordt ook wel eens de langste zijde, of de hypotenusa genoemd.
Hoe bereken je D bij een Sinusoide? ›Goniometrie » Sinusoïde
De amplitude is 5 – 2,5 = 2,5. De periode is 12 – 3 = 9. De waarde van c wordt dan 2 π /9. De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand in het punt (3; 2,5) dus d is 3.
De goniometrische vergelijkingen. Die zijn verreweg het lastigst. Vooral omdat je allerlei kunststukjes moet uithalen omdat je steeds te maken hebt met oneindig veel oplossingen. Meestal heb je twee fundamenteel verschillende oplossingen die van zichzelf ook uit oneindige veel oplossingen bestaan.
Is goniometrie meetkunde? ›Het rekenen met hoeken in driehoeken met tangens, sinus en cosinus noemen we de goniometrie en is binnen de wiskunde een belangrijk onderdeel van de vlakke meetkunde.